ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

پی

صفحه اول سوال هماهنگ کشوری ریاضی1 - riazi1

صفحه دوم هماهنگ کشوری ریاضی1

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

بازی اعداد

بازی با اعداد

سلام به عصر جدید خوش آمدید

امروز مطلبی برای شما تهیه کرده ام با عنوان بازی با اعداد که آزمایش کردن این اعداد بسیار لذت بخش خواهد بود، امیدوارم از این مطلب لذت ببرید.

برای بازی با اعداد به ادامه مطلب بروید.

سن خودتان را در عدد ۱۳۸۳۷ ضرب کنید حالا نتیجه را در عدد ۷۳ ضرب کنید. چه عددی به دست می آید؟

درست است سن شما چهار بار متوالی تکرار می شود.
————————————————————————————————————————
۱- اول عدد تعداد روز های هفته که به محل کار ( یا محل تحصیل ) می روید را روی یک تکه کاغذ بنویسید. ( اگر در برخی روزها دو بار به محل کار می روید می توانید آن روز را ۲ روز حساب کنید ولی به هر حال عدد انتخابی نباید بزرگتر از ۱۰ باشد ).

۲- حالا آن عدد را در ۲ ضرب کنید.
۳- عدد بدست آمده را با ۵ جمع کنید.
۴- حاصل را در ۵۰ ( پنجاه ) ضرب نمایید.
۵- اگر سالروز تولدتان در سال جاری گذشته است عدد بدست آمده را با ۱۷۵۳ جمع نمایید و اگر هنوز تا سالروز تولدتان زمان باقی مانده است عدد بدست آمده را با ۱۷۵۲ جمع نمایید.
۶-حالا چهار رقم سال تولدتان ( به تاریخ میلادی ) را از عدد بدست آمده کسر نمایید.

اکنون شما باید یک عدد ۳ رقمی داشته باشید که رقم سمت چپ آن تعداد روز های حضور شما در محل کار می باشد و دو رقم سمت راست سن شما را نشان می دهد .

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

تشکر

باتشکر از معلم عزیزمان جناب اقای توکلیان.

این وبلاگ شامل قسمت های زیر است:

1.تحقیق درباره اعدادو....(در قسمت موضوعات)

2.شامل نمونه سوالات خرداد80کشوری و مدارس دیگر است.

و....................

این وبلاگ توسط علی هدایتی و حسین کاظمی انجام شده.

وهدف فراگیری دانش تنها راه ادامه برای موفق شدن... .

ما امیدواریم قدر زحمات معلممان را با این کار جبران کنیم.

باتشکر

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

فهرست اتحادهای لگاریتمی

قوانین جبری

] کاربرد عملگرهای ساده‌ساز

گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با کجموع لگاریتم دو عدد:

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	زیرا:	$b^c \cdot b^d = b^{c + d} \!\,$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	زیرا:	$b^{c-d} = \tfrac{b^c}{b^d}$
$\log_b(x^d) = d \log_b(x) \!\,$	زیرا:	$(b^c)^d = b^{cd} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	زیرا:	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$
$x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)} \!\,$	زیرا:	$x^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) \log_b(y)} = b^{\log_b(y) \log_b(x)} = y^{\log_b(x)} \!\,$
$c\log_b(x)+d\log_b(y) = \log_b(x^c y^d) \!\,$	زیرا:	$\log_b(x^c y^d) = \log_b(x^c) + \log_b(y^d) \!\,$

که در آن $b$ و $x$ و $y$ اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و $b \ne 1$ است. همچنین $c$ و $d$ همگی اعداد حقیقی اند.

اثبات قانون نخست

$xy = b^{\log_b(x)} b^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) + \log_b(y)} \Rightarrow \log_b(xy) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y)$

قانون مربوط به توان‌ها:

$x^y = (b^{\log_b(x)})^y = b^{y \log_b(x)} \Rightarrow \log_b(x^y) = y \log_b(x)$

قانون نسبت‌ها:

$\log_b \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \log_b(x y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)$

قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود:

$\log_b(\sqrt[y]x) = \log_b(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\log_b(x)$

[اتحادهای بدیهی

$\log_b(1) = 0 \!\,$	زیرا:	$b^0 = 1\!\,$
$\log_b(b) = 1 \!\,$	زیرا:	$b^1 = b\!\,$

هشدار: $\log_b(0) \!\,$ تعریف نشده‌است چون هیچ عدد $x \!\,$ را نمی‌توان پیدا کرد که $b^x = 0 \!\,$ شود. به عبارت دیگر در نمودار $\log_b(x) \!\,$ در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.

[ویرایش] توان‌های خنثی کننده

تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند.)

$b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\operatorname{antilog}_b(\log_b(x)) = x \,$

$\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\operatorname{antilog}_b(x)) = x \,$

تغییر پایه

بسیاری از ماشین خساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:

$\log_b a = {\log_d a \over \log_d b}$

فرض کنید که $c=\log_b a$ آنگاه $b^c=a$ حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

$\log_d b^c=\log_d a$

پس از ساده‌سازی خواهیم داشت: $c\log_d b=\log_d a$

آنگاه $c=\frac{\log_d a}{\log_d b}$

از آنجایی که $c=\log_b a$ خواهیم داشت: $\log_b a=\frac{\log_d a}{\log_d b}$

[ویرایش] نتایج

نتایح بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:

$\log_b a = \frac {1} {\log_a b}$

$\log_{b^n} a = {{\log_b a} \over n}$

$b^{\log_a d} = d^{\log_a b}$

$- \log_b a = \log_b \left({1 \over a}\right) = \log_{1 \over b} a$

$\log_{b_1}a_1 \,\cdots\, \log_{b_n}a_n = \log_{b_{\pi(1)}}a_1\, \cdots\, \log_{b_{\pi(n)}}a_n, \,$

که در آن $\scriptstyle\pi\,$ جایگشت زیرنویس 1 تا n است مانند:

$\log_b w\cdot \log_a x\cdot \log_d c\cdot \log_d z = \log_d w\cdot \log_b x\cdot \log_a c\cdot \log_d z. \,$

[ویرایش] جمع و تفریق

جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند:

$\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b (1+b^{\log_b c - \log_b a})$

$\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b (1-b^{\log_b c - \log_b a})$

که در حالت ویژه می‌دهد:

$\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1+\frac{c}{a}\right)$

$\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1-\frac{c}{a}\right)$

فهرست اتحادهای مثلثاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

این مقاله نیازمند ویکی‌سازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوه‌نامه، محتوای آن را بهبود بخشید.

سینوس‌ها و کسینوس‌های حول دایره مثلثاتی

روابط مهم مثلثاتی که در حل مسائل بسیار موثر خواهند بود :

$\cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \,$

$\ cos (a+b)=cos a\times\ cos b - sin a\times\ sin b \,$

$\ cos (a-b)=cos a \times\cos b + sin a \times\sin b \,$

$\ sin (a+b)=sin a \times\cos b + cos a \times\sin b \,$

$\ sin (a-b)=sin a \times\cos b - cos a \times\sin b \,$

$'tan(45+a)=1+tana/1-tana'$

$\tan(a+b) = \frac{tan a + tan b}{1-tan a\times\tan b}\ \,$

$\tan(a-b) = \frac{tan a - tan b}{1+tan a\times\tan b}\ \,$

$\cos 2a=cos^2 a -sin^2 a=2cos^2 a -1= 1 - 2sin^2 a \,$

$\sin 2a=2sin a\times\cos a \,$

$\cos^2 a=\frac{1}{2}\ (1+cos 2a) \,$

$\sin^2 a=\frac{1}{2}\ (1-cos 2a) \,$

$\ cos a \times\cos b =\frac{1}{2}(cos (a+b)+ cos (a-b))$

$\ sin a \times\sin b =\frac{1}{2}(cos (a-b)- cos (a+b))$

$\ sin a \times\cos b =\frac{1}{2}(sin (a+b)+ sin (a-b))$

$\ cos a +cos b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ cos a -cos b=-2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a +sin b=2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a -sin b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

چنانچه $t = \tan \frac{A}{2}$ , : آنگاه

$\sin\ A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}$

$\cos\ A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}$

$\tan\ A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}$

فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند

$a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A$

[ویرایش] منبع

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

عدد پی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

برای دیگر کاربردها، پی (ابهام‌زدایی) را ببینید.

[[عدد پی\|ثابت ریاضی $π$ ]]
بخشی از مجموعه مقاله‌های پیرامون:

کاربردها
Area of disk · پیرامون یک خم بسته Use in other formulae
خواص
Irrationality · Transcendence Less than 22/7
مقدار
Approximations · Memorization
افراد
Archimedes · Liu Hui · تسو چونگچی Madhava of Sangamagrama William Jones · John Machin John Wrench
تاریخچه
Chronology · Book
در فرهنگ
Legislation · روز پی
موضوعات مرتبط
تربیع دایره · Basel problem Tau ( $τ$ ) · [[List of topics related to π \|Other topics related to $π$ ]]
ن • ب • و

مساحت دایره $\pi$ برابر r^۲ (مساحت مربع حاشورخورده) است

محیط دایره $\pi$ برابر قطرش است

عدد پی (π) از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است. این عدد را با علامت $\pi$ نشان می‌دهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسهٔ اقلیدسی مشخص می‌کند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.

در قرن نهم هجری دانشمند وریاضی دان ایرانی غیاث‌الدین جمشید کاشانی عدد پی راتا شانزده رقم اعشار محاسبه کرده بود به نحوی که تا صد و پنجاه سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد: ۲π=۶٫۲۸۳۱۸۵۳۰۷۱۷۹۵۸۶۵

تعریف

عدد پی عدد گنگی است که در بسیاری از محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشد. آن را با $\pi$ نمایش می‌دهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره‌ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در آنالیز ریاضی و با استفاده از توابع مثلثاتی، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند. به عنوان نمونه عدد پی را دو برابر کوچکترین مقدار مثبت $x$ ، که به ازای آن $cos(x)=0$ می‌شود تعریف می‌کنند.

۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ ۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶ ۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹ ۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱ ۶۹۳۹۹۳۷۵۱۰ ۵۸۲۰۹۷۴۹۴۴ ۵۹۲۳۰۷۸۱۶۴ ۰۶۲۸۶۲۰۸۹۹ ۸۶۲۸۰۳۴۸۲۵ ۳۴۲۱۱۷۰۶۷۹ ۸۲۱۴۸۰۸۶۵۱ ۳۲۸۲۳۰۶۶۴۷ ۰۹۳۸۴۴۶۰۹۵ ۵۰۵۸۲۲۳۱۷۲ ۵۳۵۹۴۰۸۱۲۸ ۴۸۱۱۱۷۴۵۰۲ ۸۴۱۰۲۷۰۱۹۳ ۸۵۲۱۱۰۵۵۵۹ ۶۴۴۶۲۲۹۴۸۹ ۵۴۹۳۰۳۸۱۹۶ ۴۴۲۸۸۱۰۹۷۵ ۶۶۵۹۳۳۴۴۶۱ ۲۸۴۷۵۶۴۸۲۳ ۳۷۸۶۷۸۳۱۶۵ ۲۷۱۲۰۱۹۰۹۱ ۴۵۶۴۸۵۶۶۹۲ ۳۴۶۰۳۴۸۶۱۰ ۴۵۴۳۲۶۶۴۸۲ ۱۳۳۹۳۶۰۷۲۶ ۰۲۴۹۱۴۱۲۷۳ ۷۲۴۵۸۷۰۰۶۶ ۰۶۳۱۵۵۸۸۱۷ ۴۸۸۱۵۲۰۹۲۰ ۹۶۲۸۲۹۲۵۴۰ ۹۱۷۱۵۳۶۴۳۶ ۷۸۹۲۵۹۰۳۶۰ ۰۱۱۳۳۰۵۳۰۵ ۴۸۸۲۰۴۶۶۵۲ ۱۳۸۴۱۴۶۹۵۱ ۹۴۱۵۱۱۶۰۹۴ ۳۳۰۵۷۲۷۰۳۶ ۵۷۵۹۵۹۱۹۵۳ ۰۹۲۱۸۶۱۱۷۳ ۸۱۹۳۲۶۱۱۷۹ ۳۱۰۵۱۱۸۵۴۸ ۰۷۴۴۶۲۳۷۹۹ ۶۲۷۴۹۵۶۷۳۵ ۱۸۸۵۷۵۲۷۲۴ ۸۹۱۲۲۷۹۳۸۱ ۸۳۰۱۱۹۴۹۱۲ ۹۸۳۳۶۷۳۳۶۲ ۴۴۰۶۵۶۶۴۳۰ ۸۶۰۲۱۳۹۴۹۴ ۶۳۹۵۲۲۴۷۳۷ ۱۹۰۷۰۲۱۷۹۸ ۶۰۹۴۳۷۰۲۷۷ ۰۵۳۹۲۱۷۱۷۶ ۲۹۳۱۷۶۷۵۲۳ ۸۴۶۷۴۸۱۸۴۶ ۷۶۶۹۴۰۵۱۳۲ ۰۰۰۵۶۸۱۲۷۱ ۴۵۲۶۳۵۶۰۸۲ ۷۷۸۵۷۷۱۳۴۲ ۷۵۷۷۸۹۶۰۹۱ ۷۳۶۳۷۱۷۸۷۲ ۱۴۶۸۴۴۰۹۰۱ ۲۲۴۹۵۳۴۳۰۱ ۴۶۵۴۹۵۸۵۳۷ ۱۰۵۰۷۹۲۲۷۹ ۶۸۹۲۵۸۹۲۳۵ ۴۲۰۱۹۹۵۶۱۱ ۲۱۲۹۰۲۱۹۶۰ ۸۶۴۰۳۴۴۱۸۱ ۵۹۸۱۳۶۲۹۷۷ ۴۷۷۱۳۰۹۹۶۰ ۵۱۸۷۰۷۲۱۱۳ ۴۹۹۹۹۹۹۸۳۷ ۲۹۷۸۰۴۹۹۵۱ ۰۵۹۷۳۱۷۳۲۸ ۱۶۰۹۶۳۱۸۵۹ ۵۰۲۴۴۵۹۴۵۵ ۳۴۶۹۰۸۳۰۲۶ ۴۲۵۲۲۳۰۸۲۵ ۳۳۴۴۶۸۵۰۳۵ ۲۶۱۹۳۱۱۸۸۱ ۷۱۰۱۰۰۰۳۱۳ ۷۸۳۸۷۵۲۸۸۶ ۵۸۷۵۳۳۲۰۸۳ ۸۱۴۲۰۶۱۷۱۷ ۷۶۶۹۱۴۷۳۰۳ ۵۹۸۲۵۳۴۹۰۴ ۲۸۷۵۵۴۶۸۷۳ ۱۱۵۹۵۶۲۸۶۳ ۸۸۲۳۵۳۷۸۷۵ ۹۳۷۵۱۹۵۷۷۸ ۱۸۵۷۷۸۰۵۳۲ ۱۷۱۲۲۶۸۰۶۶ ۱۳۰۰۱۹۲۷۸۷ ۶۶۱۱۱۹۵۹۰۹ ۲۱۶۴۲۰۱۹۸۹ ۳۸۰۹۵۲۵۷۲۰ ۱۰۶۵۴۸۵۸۶۳ ۲۷۸۸۶۵۹۳۶۱ ۵۳۳۸۱۸۲۷۹۶ ۸۲۳۰۳۰۱۹۵۲ ۰۳۵۳۰۱۸۵۲۹ ۶۸۹۹۵۷۷۳۶۲ ۲۵۹۹۴۱۳۸۹۱ ۲۴۹۷۲۱۷۷۵۲ ۸۳۴۷۹۱۳۱۵۱ ۵۵۷۴۸۵۷۲۴۲ ۴۵۴۱۵۰۶۹۵۹

تاریخچه

تقریب اعشاری عدد پی

اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.

ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند. از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد: $\frac11 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19 - \ldots = \frac{\pi}{4}$

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.

طبق محاسبه‌ی کامپیوتری سری فوق٬ تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:

۱۰۰ میلیون جمله: ۷ رقم اعشار
یک میلیارد جمله: ۸ رقم اعشار

ارقام بالا نشان می‌دهد که این الگوریتم رشد نمایی شدیدی دارد که زمان زیادی را می‌تواند برای محاسبه‌ی ارقام بسیار بالا صرف نماید.

در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ می‌باشد و نمی توان آنرا بصوت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند عدد e). این کشف بزرگ یعنی اینکه عدد پی یک عدد گنگ می‌باشد به سالها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.

در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه‌های رایانه‌ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرمول به صورت زیر است:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac15 - \arctan \frac1{239}$

با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا ۷۰۷ رقم اعشار محاسبه کرد، در حالیکه فقط ۵۲۷ رقم آن درست بود.

باوجود آنکه همه ریاضی‌دانان می دانند که عدد پی گنگ می‌باشد و هرگز نمی توان آنرا بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدل‌های محاسبه عدد پی هموار برای آنها از جذابیت زیادی برخوردار بوده است. بسیاری از آنها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما آنها هرگز نتوانستند تا قبل از ساخت کامپیوتر این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند.

امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته‌ترین رایانه‌ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اوخر سال ۱۹۹۹ یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمود.

از سال ۱۹۸۸ روز ۱۴ مارس را در آمریکا روز عدد پی نام نهاده‌اند و جشن می‌گیرند. روزهای دیگری نیز برای عدد پی در دیگر کشورها تعیین شده و مراسمی برای معرفی عدد پی و اهمیت آن برگزار می‌شود.

عدد پی در ایران

غیاث الدین جمشید کاشانی دانشمند ایرانی در رساله المحیطیه که درباره دایره نوشت عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز یافت.

یک آدم خوش ذوق هم جمله‌ای گفت که تعداد حرف‌های کلمه‌های آن مقدار عدد پی را تا ده رقم پس از ممیز نشان می‌دهد تا راحت‌تر آن را به خاطر بسپارید: «خرد و بینش و آگاهی دانشمندان ره "سر-منزل" توفیق ترا آموزد.» (که تعداد حرف های کلمه های به ترتیب خواندن شعر از راست به چپ و نوشتن ارقام از چپ به راست برابر۳.۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ است)

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

نسبت های مثلثاتی

کاشف نسبتهای مثلثاتی

ابوالوفا محـمد بن يحيي بن اسماعيل بن عباس بوزجاني خراساني، يکي از مفاخر عـلمي ايران و متـولد 328 هـجري قـمري که در سوم رجب سال 388 هجري قـمري درگـذشته است. وي اهـل بوژگـان که در هـجده کيلومتري شرق شهـر تربـت جام قرار داد. ابوالوفا براي اولين بار در تهـيه جداول سينوس و کسينوس و شعـاع دايره، عـدد واحـدي را به کار برد و به اين وسيله توانست در تکـميل جداول مثـلثاتي اقدام کند و اولين بار نسبت ظل معـسلامح زاويه به قـطر ظل زاويه را که جـيب زاويه به شعـاع دايره بود کشف کرد. اين نسبت مثـلثاتي را که امروزه به نام سکانت مي خوانند و " کـپرنيک " اين نسبت را به نام خود مشهـور کرده است.

فيـبوناچي دانـشمند ايتاليايي قسمت عمدهً مسائل رياضي و جبر خود را از کتاب ابوالوفا استـنساخ کرد و بعـدها معـلوم شد شخـصي که نام اصلي اش " لئونارد دوپـيز " که هـمان " فيـبو ناتـچي " بوده به مصر و شام مسافرت کرده و قسمت عمدهً مطالعـات خود را که در کتاب " اباسلامح " آورده است از منابع دانشمندان رياضي دوره اسلام بوده و بويژه از ابوالوفا و کتاب الفـخري " کرجي " بوده است. بنا به عـقـيده " مارتـين گـاردنر " دانشمند و پـژوهـندهً رياضيدان آمريکايي در نشريه عـلمي معـروف آمريکن سايـنس گـفـته است که نخستين رساله اي که دربارهً تـقـسيم و تـبديل اشکـال هـندسي نوشته شده است، توسط ابوالوفا دانشمند ايراني بوده که متاًسفانه فـقط چـند ورقي از کـتاب پـر ارزش او باقي مانده؛ و اولين بار سه مربع را به 9 جزء تـقـسيم و از آنهـا يک مربع کامل ساخـته و به تـفـضيل به شرح آن پـرداخـته است؛ سپس به مدت ده قرن اين بحـث هـندسي و رياضي به فراموشي سپـرده شد تا اينکه " هـانري ارنست دوني " انگـليسي و " هـاري لين گـرين " استراليايي دنبالهً پـژوهـشهاي ابوالوفا را ادامه دادند. ابوالوفا نخستين کسي است که اختلاف سوم حرکت ماه را که به نام وارياسيون است کشف کرد و اين کـشف در سال 1836 توسط لوئي املي سديو به آکادمي عـلوم فرانسه اعـلام گـرديد

فرمول نسبتهای مثلثاتی

1.sin4+cos4=1-2(sin2×cos2)
2. sin6+cos6=1-3(sin2×cos2)
3. 1-2(sin×cos)=(sin-cos)2
4. tg ×cot =1
5. sec=1/cos → sec2=1/cos2=1+tg2
6. csc=1/sin → csc2=1/sin2 =1+cot2
7. sin2+cos2=1 → sin2=1-cos2 → cos2=1-sin2
8. tan+cot=1/(sin×cos)=sec ×csc

1.sin4+cos4=1-2(sin2×cos2)
2. sin6+cos6=1-3(sin2×cos2)
3. 1-2(sin×cos)=(sin-cos)2
4. tg ×cot =1
5. sec=1/cos → sec2=1/cos2=1+tg2
6. csc=1/sin → csc2=1/sin2 =1+cot2
7. sin2+cos2=1 → sin2=1-cos2 → cos2=1-sin2
8. tan+cot=1/(sin×cos)=sec ×csc
9. sin(a ± b)=sin(a)cos(b)±sin(b)cos(a)
10. cos(a+b)=cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
11. cos(a - b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
12. cos(a - b)×cos(a +b)=cos2a - sin2b
13. sin(a +b)×sin(a - b)=sin2a - sin2b
14. tan(a+b)=( tan(a) + tan(b) ) / ( 1-tan(a)×tan(b) )
15. tan(a - b)=( tan(a) -tan(b) ) / ( 1+tan(a)×tan(b) )
16. cot(a+b)=( cot(a)×cot(b) - 1)/( cot(a)+cot(b) )
17. cot(a - b)=( cot(a)×cot(b) +1)/( cot(a) - cot

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

دستگاه مختصات

دستگاه مختصات

دو محور عمود بر هم که در یک صفحه قرار دارند ، یک دستگاه مختصات به وجود می آورند.

محور افقی را محور طول، محور عمودی را محور عرض و محل برخورد دو محور را مبدأ مختصات می نامند.

صفحه ی حاصل از دو محور مختصات را صفحه ی مختصات می گوییم.

از آن جا که دو محور مختصات بر هم عمود هستند آنرا دستگاه مختصات قائم یا دکارتی ( منسوب به دکارت ) می نامند.

1- هر نقطه که در ناحیه ی اول قرار گیرد ، طول و عرضش مثبت است.

2- هر نقطه که در ناحیه ی دوم قرار گیرد ، طول منفی و عرض مثبت است.

3- هر نقطه ای که در ناحیه ی سوم قرار گیرد ، طول و عرضش منفی است.

4- هر نقطه ای که در ناحیه ی چهارم قرار گیرد طول مثبت و عرض منفی است.

5 – هر نقطه ای که روی محور طول قرار گیرد ، عرضش صفر است.

6 – هر نقطه ای که روی محور عرض قرار گیرد ، طولش صفر است.

مثال Å اگر نقطه روی محور طول باشد، مقدار a را بدست آورید .

حل: هر نقطه روی محور طول ، عرض آن صفر است پس:

انتقال: (translation )

انتقال به معنی جابه جا شدن، از جایی به جای دیگر رفتن، نقل کردن، کوچیدن، کوچ کردن و مردن و در گذشتن می باشد.

در ریاضی انتقال یعنی تغییر مکان، اندازه و جهت مشخص. برداری که شکل را در مسیر مشخص انتقال می دهد، بردار انتقال می نامند.

1 - هر برداری که موازی محور طول باشد ، عرض آن صفر است .

2 – هر برداری که موازی محور عرض باشد ، طول آن صفر است .

3 – قرینه نقطه ی نسبت به محور طول نقطه یاست .

4 - قرینه نقطه ی نسبت به محور عرض نقطه یاست .

5 -قرینه نقطه ی نسبت به مبدأ مختصات نقطه یاست .

6 - قرینه نقطه ینسبت به نیمساز ناحیه ی اول و سوم نقطه یاست .

7 - قرینه نقطه ی نسبت به نیمساز ناحیه ی دوم و چهارم نقطه ی است .

دستگاه مختصات

دو محور عمود بر هم که در یک صفحه قرار دارند ، یک دستگاه مختصات به وجود می آورند.

محور افقی را محور طول، محور عمودی را محور عرض و محل برخورد دو محور را مبدأ مختصات می نامند.

صفحه ی حاصل از دو محور مختصات را صفحه ی مختصات می گوییم.

از آن جا که دو محور مختصات بر هم عمود هستند آنرا دستگاه مختصات قائم یا دکارتی ( منسوب به دکارت ) می نامند.

1- هر نقطه که در ناحیه ی اول قرار گیرد ، طول و عرضش مثبت است.

2- هر نقطه که در ناحیه ی دوم قرار گیرد ، طول منفی و عرض مثبت است.

3- هر نقطه ای که در ناحیه ی سوم قرار گیرد ، طول و عرضش منفی است.

4- هر نقطه ای که در ناحیه ی چهارم قرار گیرد طول مثبت و عرض منفی است.

5 – هر نقطه ای که روی محور طول قرار گیرد ، عرضش صفر است.

6 – هر نقطه ای که روی محور عرض قرار گیرد ، طولش صفر است.

مثال Å اگر نقطه روی محور طول باشد، مقدار a را بدست آورید .

حل: هر نقطه روی محور طول ، عرض آن صفر است پس:

انتقال: (translation )

انتقال به معنی جابه جا شدن، از جایی به جای دیگر رفتن، نقل کردن، کوچیدن، کوچ کردن و مردن و در گذشتن می باشد.

1 - هر برداری که موازی محور طول باشد ، عرض آن صفر است .

2 – هر برداری که موازی محور عرض باشد ، طول آن صفر است .

3 – قرینه نقطه ی نسبت به محور طول نقطه یاست .

4 - قرینه نقطه ی نسبت به محور عرض نقطه یاست .

5 -قرینه نقطه ی نسبت به مبدأ مختصات نقطه یاست .

6 - قرینه نقطه ینسبت به نیمساز ناحیه ی اول و سوم نقطه یاست .

7 - قرینه نقطه ی نسبت به نیمساز ناحیه ی دوم و چهارم نقطه ی است .


newmoon.ir‏	nanoclub.ir‏
	روشی که برای تبدیل یک	برچسبها: انیمیشن
	به عبارت دیگر ماتریس تبدیل ، ماتریسی است که یک وضعیت دستگاه مختصات را در ...	تصاویر تکمیلی بخش دستگاه مختصات افقی 3	حال در صفحه جدید، پارامترهای مختصات قطبی را بعنوان بقیه مختصات نقطه بیان ... daneshnameh.roshd.ir‏
حال می خواهیم ky.com‏	دستگاه مختصات قطبی 2	شکل 9) فضای کاغذ (راست) و فضای کاغذ (چپ)– نماد دستگاه مختصات نشان می دهد که ... jpg irancad.com‏	مختصههای دستگاه مختصات استوایی: مِیل: فاصلهی ستاره تا صفحهی استوا و بر حسب ...

دستگاه مختصات کروی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

نقطه‌ای که با دستگاه مختصات کروی نمایش داده شده است

در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویهٔ سمت‌الرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x.

محتویات

[نهفتن]

مشخصات

دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:

مختصه $ho$ (یا $r$ ) که روی کره‌های هم مرکز حول مبدا است.
مختصه $heta$ روی مخروط‌های دوار قائم حول محور $z$ با راس واقع در مبدا.
مختصه $phi$ که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی $z$ می‌گذرد.

در فیزیک بنا به سنت جای $heta$ و $phi$ معکوس است یعنی $heta$ زاویه با محور $z$ است.

محدوده مختصات

سه مختصه در محدوه‌های زیر می‌توانند باشند:

مختصه $ho$ (یا $r$ ):

$0 le ho$

مختصه زاویه قطبی $heta$ :

$0 le heta le 2 pi$

مختصه زاویه سمتی $phi$ :

$0 le phi le pi$

رابطه با مختصات دکارتی

مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تبدیل کرد:

برای مختصه $ho$ :

${ ho}=sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

برای مختصه زاویه قطبی $heta$ :

${ heta}=arctan left({frac{y}{x}} ight)$

برای مختصه زاویه سمتی $phi$ :

${phi}=arccos left({frac{z}{sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} ight)$

مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر می‌توان به دستگاه مختصات کروی برد:

مختصه $x$ :

${x}= ho , sinphi , cos heta quad$

مختصه $y$ :

${y}= ho , sinphi , sin heta quad$

مختصه $z$ :

${z}= ho , cosphi quad$

حساب برداری

بردار $A$ در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$overrightarrow{A} = A_roldsymbol{hat r} + A_ hetaoldsymbol{hat heta} + A_phioldsymbol{hat phi}$

ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها مانند تمامی دستگاههای مختصّات متعامد به همان فرمولبندی دستگاه دكارتی انجام میشود.
گرادیان تابع اسکالر $f$ به صورت زیر است:

$abla f = {partial f over partial r}oldsymbol{hat r} + {1 over r}{partial f over partial heta}oldsymbol{hat heta} + {1 over rsin heta}{partial f over partial phi}oldsymbol{hat phi}$

واگرایی بردار $A$ :

$abla cdot mathbf{A} = {1 over r^2}{partial left( r^2 A_r ight) over partial r} + {1 over rsin heta}{partial over partial heta} left( A_ hetasin heta ight) + {1 over rsin heta}{partial A_phi over partial phi}$

کرل بردار $A$ در دستگاه کروی:

$abla imes mathbf{A} = {1 over rsin heta} {partial over partial heta} left({partial over partial heta} (A_phi sin heta) - {partial A_ heta over partial phi} ight) oldsymbol{hat r} + {1 over r} left({1 over sin heta}{partial A_r over partial phi} - {partial over partial r} left( r A_phi ight) ight) oldsymbol{hat heta} + {1 over r}left({partial over partial r} left( r A_ heta ight) - {partial A_r over partial heta} ight) oldsymbol{hat phi}$

عملگر لاپلاسی بر روی بردار $f$ در مختصات کروی:

$Delta f = abla^2 f = {1 over r^2}{partial over partial r}left(r^2 {partial f over partial r} ight) + {1 over r^2sin heta}{partial over partial heta}left(sin heta {partial f over partial heta} ight) + {1 over r^2sin^2 heta}{partial^2 f over partial phi^2}$

تبدیل‌های دستگاه مختصات

دستگاه مختصات جغرافیایی

دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.

عرض جغرافیایی ${delta},$ ، مکمل سمت‌الرأس یا متمم عرض جغرافیایی است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:

${delta}=90^circ - phi$ ، یا

${phi}=90^circ - delta$

با این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ ‎ -90° ≤ φ ≤ 90° ‏ بیان می‌کند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از 0° اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش ‎ -180° ≤ θ ≤ 180° ‏ است.

دیفرانسیل‌ها

دیفرانسیل خطی:

$dmathbf{l} = drmathbf{hat r} + rd hetaoldsymbol{hat heta} + rsin heta dphioldsymbol{hat phi}$

دیفرانسیل سطحی:

$dmathbf{S} = r^2 sin heta d heta dphi mathbf{hat r} + rsin heta drdphi oldsymbol{hat heta} + rdrd hetaoldsymbol{hat phi}$

دیفرانسیل حجمی:

$dv = r^2sin heta drd heta dphi,$

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

عدد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

سیستم‌های شماره‌ای

هندی غربی هندی شرقی	هندوستان برهمی
اعداد خاور دور
چینی ژاپنی خِمِر	کره‌ای تایلندی
اعداد بر پایه الفبا
ابجد ارمنی سیریلیک گِعِز	عبری یونانی سانسکریت
سیستم‌های دیگر
آتیک اِتروسکی رومی	بابلی مصری مایایی
عناوین مربوط به سیستم‌های شمارشی

سیستم‌های ترتیبی
بر پایه دهدهی،
دودویی: ۲، ۴، ۸، ۱۶، ۳۲، ۶۴، ۱۲۸
غیره: ۳، ۹، ۱۲، ۲۴، ۳۰، ۳۶، ۶۰، ادامه. +/-

عَدَد (یا شماره) یکی از مفاهیم پایهٔ ریاضیات است. در آغاز عدد برای شمارش و اندازه‌گیری به کار می‌رفت ولی بعدها ریاضی‌دانان مفهوم آن را توسعه دادند و مفهوم عدد صفر، عدد منفی، عدد موهومی و عدد مختلط را ابداع کردند. عدد را نباید با رقم اشتباه کرد. رقم نشانه‌ای است که برای نوشتن عدد به کار می‌رود.

تاریخ پیدایش عدد

در آغاز، مفهوم عدد بسیار محدود بود. حتی اعداد را تا ۲ بیشتر نمی‌توانستند بشمارند. برای عدد، مرزی برای شمار داشتند. برای نمونه، زمانی در بسیاری جاها، مرز شمار، عدد ۶ بود. تا ۶ می‌شمردند و پس از آن را «بسیار» می‌گفتند. هنوز هم در بسیاری زبان‌ها «هفت» به معنای بسیار است. در زبان فارسی، ضرب‌المثلی هست که می‌گوید: «هفت بار گز کن، یک ‌بار پاره کن.» در این ضرب‌المثل، منظور دقیقاً هفت بار عمل کردن نیست، بلکه منظور این است که پس از عمل «بسیار»، نتیجه بگیر. در زبان روسی نیز ضرب‌المثلی به این مفهوم وجود دارد که «هفت نفر منتظر یک نفر نمی‌مانند» که باز هم منظور این است که تعداد زیادی منتظر یک نفر نمی‌مانند. همچنین در داستان‌ها، وقتی از پادشاهی صحبت می‌شود که در قصری است که هفت برج و بارو دارد، و یا هفت دریا، هفت سرزمین، هفت آسمان و ... همه جا «هفت» به معنای بسیار به کار رفته‌است.

عدد سیزده نیز چنین سرنوشتی دارد. دوازده را «دوجین» می‌گفتند و چون پس از آن را نمی‌شناختند، روی آن نام «دوجین شیطانی» گذاشتند. از اینجا، عدد سیزده نحس شد. چرا که پس از دوازده برای آن‌ها ناشناخته بود و خبر از ابهام و تاریکی می‌داد. البته پیشامدها یا روایت‌هایی هم به نحسی سیزده کمک کرد. مثلاً روایتی هست مبنی بر این که در شام آخر، نفر سیزدهم به عیسای مسیح خیانت کرد و او را لو داد. وگرنه عدد ۱۳ با عددهای دیگر هیچ تفاوتی ندارد. (نمونه‌های دیگری هم از این‌گونه، برای برخی عددها داریم. چهل چراغ به معنای درست ۴۰ چراغ نیست. هزار پا به معنای این نیست که این جانور ۱۰۰۰ پا دارد.)

برخی عددها هم نشانهٔ عددشماری بوده‌است. دست پنج انگشت دارد و اغلب چیزها را به یاری انگشتان دست و پا می شمردند. واژهٔ پنج از پنجه گرفته شده است. زیرا پنجه دارای ۵ انگشت است. در زبان فارسی، واژهٔ سی با واژهٔ سه، هم‌ریشه است. همین‌طور چهل با چهار، پنجاه با پنج و ... ولی واژهٔ بیست، هیچ ربطی به واژهٔ «دو» ندارد. این نشانهٔ آن است که عدد ۲۰ به معنای مجموعهٔ انگشتان دست و پاست و در زمان‌های دور، مبنای عددشماری بوده‌است. در زبان فرانسوی به بیست می‌گویند «وَن» که هیچ ربطی به (دو=deux) ندارد. به جز آن، به هشتاد می‌گویند «چهار بیست تا» و به نود می‌گویند «چهار بیست تا و ده تا». تنها در دوره‌ای از پیشرفت تمدّن به بی‌پایان بودن عددهای طبیعی پی‌بردند و به عنوان نمونه، اقلیدس (سده سوّم پیش از میلاد) ثابت کرد که تعداد عددهای اوّل، بی‌نهایت است.

گونه‌های نوشتاری اعدادانگلیسی/فارسی/عربی [ویرایش]

A نوشته آلمانی که اعداد فارسی/عربی را بجای رومن آموزش می داد (Talhoffer Thott, 1459). esoteric, Hebrew alphabet and astrology.

Woodcut showing the 16th century astronomical clock of Uppsala Cathedral, اعدادخط عربی/فارسی و رومن در یک ساعتh Roman numerals.

Late 18th century "decimal" clockface.

طریقه نوشتن اعداد در فارسی و عربی به یک شکل است اما کشورهای عربی تقریبا در ۵۰ سال گذشته مدل نوشتن اعداد به سبک غربی و انگلسی را بیشتر بکار می برند. آنها می گویند نوشتن اعدادبصورت انگلسیی تکامل یافته اعداد به سبک عربی/فارسی است. اروپاییان تا حدود ۵۰۰ سال قبل از سبک نوشتن اعداد بصورت I. II.III IV.VI , ... استفاده می کردند که در نوشتن اعداد چند رقمی بزرگ کار سختی بود. آنها ۵۰۰ سال قبل برای اولین بار نوشتن اعداد را به سبک فارسی/عربی بکار گرفتند و آنرا بهبود بخشیدند بنا براین نوشتن اعداد به سبک انگلیسی در واقع مغایرتی با نوشتن فارسی ندارد و بیگانه با نوشتار عربی / فارسی نیست.به جدول نگاه کنید تفاوت اعداد در نوشتن عربی/فارسی با انگلیسی بسیار اندک است. امروزه در تمام جهان حتی در چینی و هندی اعداد را به سبک انگلیسی می نویسندالبته به جز ایران.در ایران یک نظر قوی شکل گرفته است که نوشتن اعداد رادر زبان فارسی با نگارش اعداد انگلیسی انجام دهیم این به بین المللی کردن فارسی کمک می کند و اشتباهات عجیبی که در نگارش اعداد فارسی بویژه در اسناد و اوراق بها دار روی می دهد را کاهش می دهد.

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

عدد صفر

تاریخچه عدد صفر

تاریخچه عدد صفر

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.

هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.

بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البتهبعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.

هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

اعداد منفی

تاریخ اعداد منفی

مفهوم اعداد منفی به تقریب در سده اول پیش از میلاد ، بوسیله هندی ها پدید آمد . عدد منفی را یعنی عددی که کمتر از صفر بود وام یا قرض و مقدار مثبت را دارائی مینامیدند.

ریاضیدانان اروپائی سده های شانزدهم و هفدهم اغلب به جواب منفی معادله بی توجه بودند و به آنها اهمیت نمی دادند و آنها را جوابهای دروغ و بی معنا میدانستند

اعداد منفی تنها وقتی مورد قبول عام قرار گرفت که سر چشمه واقعی انها پیدا شد ولی دانشمندان یکباره به این سرچشمه پی نبردند

یکی از روشهای تفسیر مقدارهای مثبت و منفی را هندی ها یافتند که بسیار هم طبیعی بود ، آنها سرچشمه مقدارهای مثبت و منفی را در دارائی و قرض یافتند . آنها با آغاز از اینجا بدون اینکه مطلب را از نظر علمی تجزیه و تحلیل کرده باشند ، عمل روی اعداد منفی را آغاز کردند

یکی دیگر از ریاضیدانان هندی بنام بهاسکارا-آکاریا بیشتر توجه را روی اعداد منفی گذاشت

ریاضیدانان ایتالیائی سده شانزدهم گرچه از قانون علامتها در عمل استفاده میکردند ولی علامت منفی را تنها بعنوان نماد تفریق در نظر میگرفتند نه بصورت عدد منفی .

در بین اروپائی ها نخستین کسی که ریشه مثبت معادله را در کنار ریشه منفی آن بحساب آورد کاردن ریاضیدان ایتالیائی بود او ریشه های منفی را ساختگی و بدلی نامید او با این نامگذاری می خواست بگوید که ریشه های منفی قابل توجیه نیستند

توجیه امروز اعداد منفی به عنوان پاره خطهای جهت دار در سده هفدهم داده شد که بیش از همه در نوشته های دو ریاضیدان ( زیرا هلندی و دکارت فرانسوی )دیده میشود

امروزه از اعداد منفی در رسم منحنی ها استفاده میشود .

اعداد منفی به تمام اعداد حقیقی گفته می‌شود که کوچک‌تر از صفر هستند. این اعداد معمولاً «معرف ضرر، خسارت، اتلاف، عدم، ضایعات و فقدان در اندازه هستند. به عنوان مثال بدهی که یک شخص دارد ممکن است به صورت یک دارایی منفی تلقی شده و با عدد منفی نمایش داده شود، مثلا» می‌گوییم فلانی مبلغ ۴۵۰۰۰- تومان در طول یک ماه سرمایه گذاری کرده است. یعنی این مقدار بدهکار است. در کمیت‌ها نیز اعداد منفی به معنای یک افزایش منفی محسوب می‌شوند که به نوعی‌‌ همان کاهش است. در مورد درجه حرارت نیز اعداد منفی کاربرد زیادی دارند. نشانه اعداد منفی یک علامت منفی - است. مثلا «عدد ۳- یعنی یک مقدار منفی با بزرگی و اندازه عدد ۳ که منفی سه تلفظ می‌شود. به عبارتی، به‌‌ همان اندازه که صفر از ۳ کوچک‌تر است، به‌‌ همان اندازه از ۳- بزرگ‌تر است. ۳- <صفر <۳

در متون، اگر عددی منفی نباشد به شکلی پیش فرض مثبت تلقی می‌شود، مگر اینکه عدد صفر باشد که نه منفی است نه مثبت. به عبارت دیگر اعداد حقیقی یا منفی هستند یا مثبت یا صفر. در ریاضیات به اعداد مثبت، اعداد طبیعی و به مجموعه اعداد طبیعی، صفر و اعداد منفی، اعداد حقیقی می‌گویند.

در متون، اگر عددی منفی نباشد به شکل

ی پیش فرض مثبت تلقی می‌شود، مگر اینکه عدد صفر باشد که نه منفی است نه مثبت. به عبارت دیگر اعداد حقیقی یا منفی هستند یا مثبت یا صفر. در ریاضیات به اعداد مثبت، اعداد طبیعی و به مجموعه اعداد طبیعی، صفر و اعداد منفی، اعداد حقیقی می‌گویند.

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

اعداد گنگ

عدد گنگ

عدد گُنگ، یا عدد اصم، هر عدد حقیقی است که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است. از معروفترین این اعداد می‌توان از π، e و ۲√ نام برد.

۱- شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد ۲√ بوده باشد.کشف این عدد منتسب به فیثاغورثیان(شاگردان فیثافورث) است و گفته میشود در رقابتهای علمی که در آن زمان بین گروههای مختلف درجریان بود این عدد نقش یک برگ برنده بزرگ را برای فیثاعورثیان ایفا کرد.این عدد طول قطر مربعی به ضلع یک میباشد که براحتی از رابطه ی فیثاعورث(a^2 + b^2 = c^2) بدست می آید.در ریاضیات کلاسیک هم ۲√ رایج ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است.در واقع ثابت میشود که عدد گویایی موجود نیست که به توان 2 برابر با 2 شود.اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی عدم قطعیت به ریاضیات میداد بدین معنا که برخلاف ذات ریاضی یعنی قطعی بودن آن در عمل اعداد گنگ را نمیتوان بطور قطعی بیان کرد مثلا بسط اعشاری همین عدد ۲√ نامختوم و غیر تکراریست و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم مثلا بنویسیم 1.4142=۲√

2- یکی دیگر از اعداد گنگ مهم و تاریخی عدد پی( 3.1415 = ∏ ) میباشد.بازهم پای عدم قطعیت به میان می آید.شما دایره ای به قطر یک رسم میکنید اما محیط این دایره عدیدیست با بسط اعشاری بی انتها و غیر تکراری!!! عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند ظاهر می شود. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (3.125) و مصریان(3.1604) در 1900 سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است.همچنین در متون هندی این عدد 3.139 تقریب زده شده که حدودا تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود.او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی های منتظم و به کمک 96 ضلعی منتظم عدد پی را 3.1519 تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است.همیچنی دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن 5 میلادی عدد پی را 3.14159292 محاسبه کرد که تا 6 رقم اعشار صحیح است.تا هزاره دوم میلادی کمتر از ده قم اعشار عدد پی بطور صحیح محاسبه شده بود(به کمک عدد پی تا 11 رقم اعشار میتوان محیط کره زمین را با دقت میلیمتر تخمین زد!!!) رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سریهای نامتناهی تخمین های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد بطوریکه امروزه با استفاده از کامپیوترهای شخصی میتوان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد!!!

3- پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده عدد نپر( 2.7182 = e) است.کشف این عدد منتسب به جان نپر(John Napier) دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است.البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر(Leonhard Euler) دانشمند سوییسی است.چه بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده است.البته عده ای نیز میگویند این حرف نخستین حرف کلمه ی نمایی(exponential) است.در واقع توابع نمایی بصورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی ممکنی که میتوانند بجای a قرار گیرند عدد نپر تنها عددییست که باعث میشود تابع نمایی در نقطه صفر دقیقا شیبی برابر با یک داشته باشد(مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=1) عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر میشود.مثلا فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده اید و بانک به شما 100درصد سود در سال پرداخت میکند یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت(n=1)حال اگر بانک بجای صد در صد در سال شش ماه اول 50 درصد سود پرداخت کند(یک و نیم دلار در پایان شش ماه)و در شش ماه دوم نیز 50 درصد سود پرداخت کند(به ازای یک و نیم دلار پس انداز شما)در پایان سال 1.5+0.75=2.25 دلار خواهید داشت(n=2)اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما 25 درصد سود پرداخت کند در پایان سال مبلغ 1.25+0.3125+0.390625+0.488281=2.44141 در حساب خود خواهید داشت (n=4) اگر این روند ادامه پیدا کند یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بینهایت میل کند شما در پایان سال به اندازه 2.7182 = e دلار در بانک خواهید داشت!!! همچنین اگر احتمال برنده شدن شما در یک بازی n^ -1 باشد و شما این بازی را n بار انجام دهید و n به سمت بینهایت میل کند احتمال اینکه شما هر n بازی را ببازید برابر است باe^ -1 .گنگ ^[۱]^[۲]^[۳]

اعداد گنگ (Irrational numbers)

یونانیان به اعداد و روابط آنها با پدیدههای جهان طبیعت اعتقاد بسیاری داشتهاند، تا آنجا که فیثاغورث و طرفدارانش ادعا میکردند که اعداد سازنده جهان هستند و هر چیزی با عدد قابل بیان است. یکی از دلایل فروپاشی مکتب فیثاغورثیان این بود که هنگتمی که میخواستند معروفترین قضیه خود را(قضیۀ فیثاغورث) بیان کنند با این پرسش مواجه میشدند که اگر طول هر یک از ضلعهای مجاور زاویۀ قائمه برابر واحد باشد، طول وتر چه عددی میشود؟ و فیثاغورثیان که ادعا میکردند اعداد سازنده جهان طبیعت هستند، حال نمیتوانستند آن عدد را بیان کنند.

تعریف: m عددی گنگ(اصم) است وقتی که هیچ کسری به صورت که a,bϵℤ وجود نداشته باشد که برابر m شود.

نشان میدهیم که عددی گنگ است.

اثبات به برهان خلف: فرض میکنیم عددی گویا است، پس اعدادی مانند a و b وجود دارند بطوریکه و .

طرفین تساوی را به توان 2 میرسانیم پس و بنابراین a²=2b² یعنی a²عددی زوج است و چون توان دوم هر عدد فردی، فرد است، پس a زوج است و میتوان فرض کرد a=2k و بنابراین 4k²=2b² که نتیجه میدهد b²=2k² ، یعنی b² و در نتیجه b زوج است. پس a و b اعدادی زوج شدند و دارای حداقل یک مقسوم علیه مشترک (یعنی 2 ) هستند که با فرض اولیه که (a,b)=1 در تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است، یعنی عددی گنگ است.

نشان میدهیم که اگر a=p+1 که در آن p یک عدد گنگ است آنگاه عدد a نیز گنگ است.

اثبات به برهان خلف: فرض کنیم a گنگ نیست، پس گویاست.

تساوی یگ عدد گویا و یگ عدد گنگ ناممکن است → a-1=p → چون اعداد گویا نسبت به تفریق بستهاند پس a-1 گویاست→ a-1=p → a=1+p

و این یک تناقض است، پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.

رسمپذیر بودن اعداد گنگ:

عدد a را رسمپذیر گویند هرگاه بتوان با استفاده از خطکش و پرگار پارهخطی به طول a رسم کرد. حال آیا رسم پذیر است.

میدانیم که از هر نقطه خارج یک خط مفروض میتوان خطی عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقی این دو خط را در مبداء در نظر میگیریم، به این محور رسمپذیر گوییم. در این محور داریم:

1)(a.0) و یا (0,a) را رسمپذیر گوییم هرگاه a رسمپذیر باشد.

2) (a,b) را رسمپذیر گوییم هرگاه a,b رسمپذیر باشند.

3) هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد؛ اعم از پارهخط، دایره و ... یک شکل رسمپذیر گوییم.

حال میتوانیم نشان دهیم که رسمپذیر است. چون اگر (0,1) و (1,0) را روی محور به هم وصل کنیم بنا بر قضیۀ فیثاغورث پارهخطی به طول داریم.

*(تنها عددی که ممکن است رسمپذیر نباشد عدد گنگ است.) تعیین اینکه عدد گنگی رسمپذیر است یا خیر به معلومات و تکنیکهای ویژهای نیاز دارد که در مقاطع بالاتر مانند جبر 2 ارائه میشود.

برای ساخت یک عدد گنگ کافیست بسط اعشاری این عدد، هیچ دوره تناوب یا دوره تکراری نداشته باشد. به این ترتیب میتوان بینهایت عدد گنگ ساخت.

در ریاضیات این گزاره که "هر عددی که گویا نباشد `گنگ است´ صخیخ نیست. اعدادی نیز وجود دارند که نه گویا هستند و نه گنگ. مانند " اعداد بینهایت کوچک". چند مثال از اعداد گنگ: , , e , π , g و ... .

بسط دهی یک عدد گنگ نشان میدهد که دارای ویژگیهایی میباشند:

1)بیپایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان میدهند.

چند اصل در مورد اعداد گنگ:

1)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

قضیۀ هورویتز (Hurwitz theorem) :

هر عددی دارای تقریبهای "گویای" بینهایتی به شکل است که در آن تقریب دارای خطایی کمتر از است.

طبقه بندی اعداد گنگ: اعداد گنگ را با توجه به چگونگی سختی محاسبهاشان از طریق "تقریب" با اعداد گویا طبقهبندی کردهاند. به عبارت دیگر یک عدد گنگ از عدد گنگ دیگر، گنگتر است. به عنوان مثال عدد دارای تقریب بهتری نسبت به عدد است، پس گنگتر از π است.

گنگترین عدد گنگ عددی است که قبلا در هندسه شناخته شده است و به عدد گنگ طلائی g (Golden mean) مشهور است.

عدد g جواب معادله x²-x+1=0 است. عدد گنگ طلائی عبارت است از " قطر یک پنج ضلعی با اضلاع برابر یک". گنگی بسیار بالای این عدد باعث کاربردش در هند است که هنوز علت آن مشخص نیست. این عدد نقش مهمی در مباحث "زیباشناسی ریاضی" دارد.

عدد π: عدد π را نسبت به محیط دایره به قطر آن تعریف میکنند. در سال 1761 لامبرت (Lambert) ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد π گنگ است. همچنین لایدمن (Lindeman) ثابت کرد که عدد π یک عدد جبری نیست یعنی نمیتواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند.

اولین بار به طور رسمی ارشمیدس روشی را برای محاسبۀ تقریبی عدد π بیان کرد:

این کشف که عدد π یک عدد گنگ است به سالها تلاش ریاضیدانان برای تربیع دایره پایان داد.

عدد e: اویلر ثابت کرد e عددی گنگ است و دارای" کسرهای مسلسل" نامحدود ساده است. ژوزف لیدویل ثابت کرد e جواب "معادله درجه دوم با ضرایب صحیح" نیست. همچنین چارلز هرمیت (Charles Hermite) ثابت کرد عدد گنگ e، عددی غیر جبری است.

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بینهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.

تابع درخت کریسمس: تابع f را بر با ضابطۀ در نظر میگیریم.

fتابعی است که مجموعه نقطههای ناپیوستگی آن اعداد گویای بازه و نقاط پیوستگی آن اعداد گنگ بازه هستند. نامگذاری این تابع به خاطر شباهت شکل این تابع با درخت کریسمس است.

اعداد گنگ و رشد گیاهان: ردیابی شاخکهای میوۀ کاج نشان میدهد، آنها یکی یکی از قسمت پایینی اضافه میشوند. زاویۀ بین یک شاخک با دیگری، همیشه یکسان است! این فرض معقول است که معمولا موثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیفتد که این زاویه تا آنجا که ممکن است عددی گنگ باشد. به همین خاطر است که در طبیعت زاویههای گنگ فراوان دیده میشود.

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

عبارات رادیکالی

توابع رادیکالی با ریشه ی زوج:

برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی زوج، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:

- دامنه ی تابع داخل رادیکال را محاسبه می کنیم.

- تابع داخل رادیکال را تعیین علامت می کنیم، یعنی مجموعه ی همه اعدادی را به دست می آوریم که برای هر عدد از آن مجموعه، عبارت داخل رادیکال، نامنفی (برزگتر یا مساوی صفر) شود .

- اشتراک دو مجموعه ی به دست آمده از مراحل بالا را محاسبه می کنیم، تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.

حال برای تمرین بیشتر، به چند مثال زیر توجه کنید:

الف)

دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 آموختیم)، نتیجه خواهیم گرفت که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . بنابر این با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود: .

ب)

بنابر نکته ی 1، دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 برای تعیین علامت عبارات درجه ی 2 آموخته ایم)، نتیجه می شود که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود:

ج)

دامنه ی عبارت داخل رادیکال است. با تعیین علامت تابع زیر رادیکال، مجموعه ی همه اعدادی که این تابع را نامنفی می کند عبارت است از . حال با اشتراک و نتیجه می شود: .
توابع رادیکالی با ریشه ی فرد:

برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی فرد، فقط کافی است دامنه ی تابع زیر رادیکال را به دست آوریم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. (چرا؟) به طور مثال دامنه ی تابع با دامنه ی تابع برابر است و در نتیجه دامنه ی f برابر است با .

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

توان

توان عملگری در ریاضی است که به صورت aⁿ نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه n بار در خود ضرب می‌شود:

${{a^n = } atop { }} {{underbrace{a imes cdots imes a}} atop n}$ .

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

${{a imes n = } atop { }} {{underbrace{a + cdots + a}} atop n}$

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.

توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود. توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

توان با نماهای صحیح

عمل توان با نماهای صحیح تنها نیازمند جبر پایه‌است.

نماهای صحیح مثبت

ساده‌ترین نوع توان، با نماهای صحیح مثبت است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. در اینجا 3 پایه و 5 نما است، و 243 باب است با 3 به توان 5. عدد 3، 5 بار در عمل ضرب نشان داده می‌شود چون نما برابر 5 است.

به طور قراردادی، a² = a×a را مربع، a³ = a×a×a را مکعب می‌نامیم. 3² «مربع سه» و 3³ «مکعب سه» خوانده می‌شوند.

اولین توان را می‌توانیم به صورت a⁰ = 1 و سایر توان‌ها را به صورت aⁿ⁺¹ = a·aⁿ بنویسیم.

نماهای صفر و یک

3⁵ را می‌توان به صورت 1 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در عمل ضرب عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:

هر عدد به توان یک برابر خودش است.

a¹ = a

هر عدد به توان صفر برابر یک است.

a⁰ = 1

(برخی نویسندگان 0⁰ را تعریف نشده می‌خوانند.) برای مثال: a^{0^{= a^{2-2^{= a^{2^{/a^{2 ^{= 1 (در صورتی که a ≠ 0)}}}}}}}}

^[^{ویرایش] نماهای صحیح منفی}

^{اگر عددی غیرمنفی را به توان -1 برسانیم، حاصل برابر}^معکوس^{آن عدد است.}

^{a⁻¹ = 1/a}

در نتیجه:

a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹ = 1/aⁿ

اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد. یعنی 3⁻⁵ = 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 1/243 = 1/3⁵.

خواص

مهم‌ترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:

$a^{m + n} = a^m cdot a^n$

که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:

$a^{m - n} = egin{matrix}frac{a^m}{a^n}end{matrix}$

$(a^m)^n = a^{mn} !,$

از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال 2+3 = 5 = 3+2 و 2×3 = 6 = 3×2) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 2³ = 8 است در حالی که 3² = 9. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی هستند (برای مثال (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) و (2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 2³ به توان چهار برابر است با 8⁴ یا 4096، در حالی که 2 به توان 3⁴ برابر است با 2⁸¹ یا 2,417,851,639,229,258,349,412,352.

توان‌های ده

در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 10⁶ برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن 6 صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ برای مثال 299792458 (سرعت نور با یکای مترمکعب بر ثانیه) را می‌توان به صورت 2.99792458 × 10⁸ نوشت و به صورت تخمینی به شکل 2.998 × 10⁸. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان 10 استوار است. برای مثال پیشوند کیلو یعنی 10³ = 1000، پس یک کیلومتر برابر 1000 متر است.

توان‌های عدد دو

توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند چون در کامپیوتر مقادیر $2^n$ را می‌توان برای یک متغیر nبیتی درنظر گرفت.

توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.

توان‌های عدد صفر (0)

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است: $0=0^2$ .

اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت $0^{-n}$ تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.

اگر توان صفر عدد یک باشد، حاصل عبارت برابر یک است: $1=1^0$ .

(بعضی از نویسندگان می‌گویند که $0^0$ تعریف نشده‌است.)

توان‌های منفی یک

توان‌های منفیِ یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.

اگر نمای عددِ منفیِ یک، فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: ${(-1)}^{2n+1}=-1$

اگر نمای عددِ منفیِ یک، زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: ${(-1)}^{2n}=1$

توان‌های $i$

توان‌های $i$ در دنباله‌های با دوره‌ی ۴ کاربرد دارند.

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{4n}=1$

توان‌های e

عدد e حد دنباله‌ای با توان صحیح است:

$e=lim_{n ightarrow +infty} left(1+frac{1}{n} ight) ^n =lim_{n ightarrow -infty} left(1+frac{1}{n} ight) ^n$ .

و تقریباً داریم:

$eapprox 2.71828$ .

یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:

$e^x = left( lim_{m ightarrow pminfty} left(1+frac{1}{m} ight) ^m ight) ^x = lim_{m ightarrow pminfty} left(left(1+frac{1}{m} ight) ^m ight) ^x = lim_{m ightarrow pminfty} left(1+frac{1}{m} ight) ^{mx} = lim_{mx ightarrow pminfty} left(1+frac{x}{mx} ight) ^{mx} = lim_{n ightarrow pminfty} left(1+frac{x}{n} ight) ^n$

x می‌تواند عددی مانند صفر، کسر، عدد مرکب، یا یک ماتریس مربع باشد.

توان‌های اعداد حقیقی مثبت

به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:

عددی کسری تعریف کنیم و ریشه nام را به دست بیاوریم. این روشی است که در مدرسه‌ها از آن استفاده می‌کنند.
لگاریتم طبیعی تعریف کنیم و سطح زیر نمودار 1/x را به دست بیاوریم.

توان‌های کسری

از بالا به پائین: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر $a$ عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:

$x^n = a$

و ریشه nام $a$ نامیده می‌شود:

$x=a^{frac{1}{n}}$

برای مثال: 8^1/3 = 2. حالا می‌توانیم توان $m/n$ را به صورت زیر تعریف کنیم:

$a^{frac{m}{n}} = left(a^{frac{1}{n}} ight)^m$

برای مثال: 8^2/3 = 4.

توان‌های مرکب اعداد مرکب

خلاصه

توان‌های صحیح اعداد مرکب به صورت بازگستی تعریف می‌شود:

z⁰ = 1 zⁿ⁺¹ = z·zⁿ z⁻ⁿ = 1/zⁿ (برای z ≠ 0)

توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:

$e^z=lim_{n arrinfty}left(1+frac{z}{n} ight)^n$

و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:

a^z = e^bz

اگر:

a = e^b

مثلثات

توان‌های مبهم یک تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس برابر است با:

$e^{ix}=cos(x) + i sin(x)$ $e^{-ix}=cos(x) - i sin(x)$

مانند:

$cos(x) = (e^{ix} + e^{-ix}) / {2}$ $sin(x) = (e^{ix} - e^{-ix}) / {2i}$

معادله لگاریتم

عدد حقیقی مثبت π وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله e^z = 1 را به صورت z = 2πi·n حل نمود.

حالت قطبی

هر عدد مرکب به شکل $a+ib$ را می‌توان به این صورت نوشت:

$a+ib = r e^{ivarphi} = r left[ cosvarphi + i sinvarphi ight]$

برای یک مقدار حقیقی مثبت $r$ و یک کمان $varphi$ می‌توانیم از فرمول اویلر برای $e^{ivarphi}$ استفاده کنیم:

$(a+ib)^x = left( r e^{ivarphi} ight)^x = r^x e^{i varphi x}.$

حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای e می‌نویسیم: $e^{id} = cos d + isin d$ . در نتیجه داریم:

$r^{id} = left[ (r)^d ight]^i = left [ left( e^{ln r} ight)^d ight]^i = e^{i d ln r} = cos(d ln r) + isin(d ln r).$

حال اگر از $r = e^{ln r} !$ استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:

$(a+ib)^{c+id} = left( r e^{ivarphi} ight)^{c+id} = left[ r^c e^{-varphi d} ight] e^{i(varphi c + d ln r)}$

مثال

$i^i = (e^{ipi/2})^i = e^{-pi/2} approx 0.20788ldots$

این مقدار اصلی $i^i$ اما می‌توانیم برای هر عدد صحیح n آن را به صورت $i = e^{ipi/2 + 2pi icdot n}$ بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:

$i^i = (e^{ipi/2 + 2pi icdot n})^i = e^{-pi/2 - 2picdot n}$

جدول توان

جدول kⁿ، k در سمت چپ و n در بالای جدول است.

		n
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k^	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1,024	2
	3	3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049	3
	4	4	16	64	256	1,024	4,096	16,384	65,536	262,144	1,048,576	4
	5	5	25	125	625	3,125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625	5
	6	6	36	216	1,296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176	6
	7	7	49	343	2,401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249	7
	8	8	64	512	4,096	32,768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824	8
	9	9	81	729	6,561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401	9
	10	10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000	10
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		n

ارسال در تاريخ دو شنبه 21 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

به وبلاگ خود خوش امدید

ارسال در تاريخ 1 فروردين 1386برچسب:,

توسط علی هدایتی

صفحه قبل 1 2 صفحه بعد

:: تشکر

:: عدد

:: توان

:: به وبلاگ خود خوش امدید

:: ارديبهشت 1391

:: ردیاب خودرو

تبادل لینک هوشمند
برای تبادل لینک ابتدا ما را با عنوان ریاضیات 1 و آدرس reiazi103.LXB.ir لینک نمایید سپس مشخصات لینک خود را در زیر نوشته . در صورت وجود لینک ما در سایت شما لینکتان به طور خودکار در سایت ما قرار میگیرد.

::فال حافظ
::قالب های نازترین
::جوک و اس ام اس
::زیباترین سایت ایرانی
::جدید ترین سایت عکس
::نازترین عکسهای ایرانی
::بهترین سرویس وبلاگ دهی
::وبلاگ دهی LoxBlog.Com


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)

خبرنامه وب سایت:

آمار وب سایت:

بازدید امروز : 18
بازدید دیروز : 10
بازدید هفته : 28
بازدید ماه : 28
بازدید کل : 46153
تعداد مطالب : 15
تعداد نظرات : 0
تعداد آنلاین : 1

بازی با اعداد

فهرست اتحادهای لگاریتمی

] کاربرد عملگرهای ساده‌ساز

[اتحادهای بدیهی

[ویرایش] توان‌های خنثی کننده

تغییر پایه

فرض کنید که آنگاه حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

[ویرایش] نتایج

[ویرایش] جمع و تفریق

فهرست اتحادهای مثلثاتی

[ویرایش] منبع

عدد پی

تعریف

تاریخچه

عدد پی در ایران

فرمول نسبتهای مثلثاتی

دستگاه مختصات کروی

محتویات

مشخصات

محدوده مختصات

رابطه با مختصات دکارتی

حساب برداری

تبدیل‌های دستگاه مختصات

دستگاه مختصات جغرافیایی

دیفرانسیل‌ها

عدد

تاریخ پیدایش عدد

گونه‌های نوشتاری اعدادانگلیسی/فارسی/عربی [ویرایش]

عدد گنگ

توان با نماهای صحیح

نماهای صحیح مثبت

نماهای صفر و یک

[ویرایش] نماهای صحیح منفی

خواص

توان‌های ده

توان‌های عدد دو

توان‌های عدد صفر (0)

توان‌های منفی یک

توان‌های

توان‌های e

توان‌های اعداد حقیقی مثبت

توان‌های کسری

توان‌های مرکب اعداد مرکب

خلاصه

مثلثات

معادله لگاریتم

حالت قطبی

مثال

جدول توان

فرض کنید که $c=\log_b a$ آنگاه $b^c=a$ حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

^[^{ویرایش] نماهای صحیح منفی}

توان‌های $i$