باتشکر از معلم عزیزمان جناب اقای توکلیان.
این وبلاگ شامل قسمت های زیر است:
1.تحقیق درباره اعدادو....(در قسمت موضوعات)
2.شامل نمونه سوالات خرداد80کشوری و مدارس دیگر است.
و....................
این وبلاگ توسط علی هدایتی و حسین کاظمی انجام شده.
وهدف فراگیری دانش تنها راه ادامه برای موفق شدن... .
ما امیدواریم قدر زحمات معلممان را با این کار جبران کنیم.
باتشکر
فهرست اتحادهای لگاریتمی
] کاربرد عملگرهای سادهساز
گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارشهای ریاضی استفاده میشود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با کجموع لگاریتم دو عدد:
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: |
که در آن و و اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و است. همچنین و همگی اعداد حقیقی اند.
- اثبات قانون نخست
قانون مربوط به توانها:
قانون نسبتها:
قانون ریشهها مانند قانون توانها اثبات میشود:
[اتحادهای بدیهی
زیرا: | ||
زیرا: |
هشدار: تعریف نشدهاست چون هیچ عدد را نمیتوان پیدا کرد که شود. به عبارت دیگر در نمودار در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.
[ویرایش] توانهای خنثی کننده
تابعهای لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند میتوانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند.)
تغییر پایه
بسیاری از ماشین خسابها تنها میتوانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایهها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:
فرض کنید که آنگاه حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم میگیریم:
پس از سادهسازی خواهیم داشت:
آنگاه
از آنجایی که خواهیم داشت:
[ویرایش] نتایج
نتایح بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:
که در آن جایگشت زیرنویس 1 تا n است مانند:
[ویرایش] جمع و تفریق
جمع و تفریق در لگاریتمها در نظریههای احتمالاتی کاربرد دارند:
که در حالت ویژه میدهد:
فهرست اتحادهای مثلثاتی
این مقاله نیازمند ویکیسازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوهنامه، محتوای آن را بهبود بخشید. |
روابط مهم مثلثاتی که در حل مسائل بسیار موثر خواهند بود :
چنانچه , : آنگاه
- فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق میکند
[ویرایش] منبع
عدد پی
بخشی از مجموعه مقالههای پیرامون: |
[[عدد پی|ثابت ریاضی π ]] |
---|
کاربردها |
Area of disk · پیرامون یک خم بسته Use in other formulae |
خواص |
Irrationality · Transcendence Less than 22/7 |
مقدار |
Approximations · Memorization |
افراد |
Archimedes · Liu Hui · تسو چونگچی Madhava of Sangamagrama William Jones · John Machin John Wrench |
تاریخچه |
Chronology · Book |
در فرهنگ |
Legislation · روز پی |
موضوعات مرتبط |
تربیع دایره · Basel problem |
عدد پی (π) از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است. این عدد را با علامت نشان میدهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسهٔ اقلیدسی مشخص میکند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.
در قرن نهم هجری دانشمند وریاضی دان ایرانی غیاثالدین جمشید کاشانی عدد پی راتا شانزده رقم اعشار محاسبه کرده بود به نحوی که تا صد و پنجاه سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد: ۲π=۶٫۲۸۳۱۸۵۳۰۷۱۷۹۵۸۶۵
|
تعریف
عدد پی عدد گنگی است که در بسیاری از محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات میباشد. آن را با نمایش میدهند. در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایرهای به شعاع واحد تعریف میکنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در آنالیز ریاضی و با استفاده از توابع مثلثاتی، به صورت دقیق ریاضی تعریف میکنند. به عنوان نمونه عدد پی را دو برابر کوچکترین مقدار مثبت ، که به ازای آن میشود تعریف میکنند.
۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ ۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶ ۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹ ۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱ ۶۹۳۹۹۳۷۵۱۰
۵۸۲۰۹۷۴۹۴۴ ۵۹۲۳۰۷۸۱۶۴ ۰۶۲۸۶۲۰۸۹۹ ۸۶۲۸۰۳۴۸۲۵ ۳۴۲۱۱۷۰۶۷۹ ۸۲۱۴۸۰۸۶۵۱ ۳۲۸۲۳۰۶۶۴۷ ۰۹۳۸۴۴۶۰۹۵ ۵۰۵۸۲۲۳۱۷۲ ۵۳۵۹۴۰۸۱۲۸ ۴۸۱۱۱۷۴۵۰۲ ۸۴۱۰۲۷۰۱۹۳ ۸۵۲۱۱۰۵۵۵۹ ۶۴۴۶۲۲۹۴۸۹ ۵۴۹۳۰۳۸۱۹۶ ۴۴۲۸۸۱۰۹۷۵ ۶۶۵۹۳۳۴۴۶۱ ۲۸۴۷۵۶۴۸۲۳ ۳۷۸۶۷۸۳۱۶۵ ۲۷۱۲۰۱۹۰۹۱ ۴۵۶۴۸۵۶۶۹۲ ۳۴۶۰۳۴۸۶۱۰ ۴۵۴۳۲۶۶۴۸۲ ۱۳۳۹۳۶۰۷۲۶ ۰۲۴۹۱۴۱۲۷۳ ۷۲۴۵۸۷۰۰۶۶ ۰۶۳۱۵۵۸۸۱۷ ۴۸۸۱۵۲۰۹۲۰ ۹۶۲۸۲۹۲۵۴۰ ۹۱۷۱۵۳۶۴۳۶ ۷۸۹۲۵۹۰۳۶۰ ۰۱۱۳۳۰۵۳۰۵ ۴۸۸۲۰۴۶۶۵۲ ۱۳۸۴۱۴۶۹۵۱ ۹۴۱۵۱۱۶۰۹۴ ۳۳۰۵۷۲۷۰۳۶ ۵۷۵۹۵۹۱۹۵۳ ۰۹۲۱۸۶۱۱۷۳ ۸۱۹۳۲۶۱۱۷۹ ۳۱۰۵۱۱۸۵۴۸ ۰۷۴۴۶۲۳۷۹۹ ۶۲۷۴۹۵۶۷۳۵ ۱۸۸۵۷۵۲۷۲۴ ۸۹۱۲۲۷۹۳۸۱ ۸۳۰۱۱۹۴۹۱۲ ۹۸۳۳۶۷۳۳۶۲ ۴۴۰۶۵۶۶۴۳۰ ۸۶۰۲۱۳۹۴۹۴ ۶۳۹۵۲۲۴۷۳۷ ۱۹۰۷۰۲۱۷۹۸ ۶۰۹۴۳۷۰۲۷۷ ۰۵۳۹۲۱۷۱۷۶ ۲۹۳۱۷۶۷۵۲۳ ۸۴۶۷۴۸۱۸۴۶ ۷۶۶۹۴۰۵۱۳۲ ۰۰۰۵۶۸۱۲۷۱ ۴۵۲۶۳۵۶۰۸۲ ۷۷۸۵۷۷۱۳۴۲ ۷۵۷۷۸۹۶۰۹۱ ۷۳۶۳۷۱۷۸۷۲ ۱۴۶۸۴۴۰۹۰۱ ۲۲۴۹۵۳۴۳۰۱ ۴۶۵۴۹۵۸۵۳۷ ۱۰۵۰۷۹۲۲۷۹ ۶۸۹۲۵۸۹۲۳۵ ۴۲۰۱۹۹۵۶۱۱ ۲۱۲۹۰۲۱۹۶۰ ۸۶۴۰۳۴۴۱۸۱ ۵۹۸۱۳۶۲۹۷۷ ۴۷۷۱۳۰۹۹۶۰ ۵۱۸۷۰۷۲۱۱۳ ۴۹۹۹۹۹۹۸۳۷ ۲۹۷۸۰۴۹۹۵۱ ۰۵۹۷۳۱۷۳۲۸ ۱۶۰۹۶۳۱۸۵۹ ۵۰۲۴۴۵۹۴۵۵ ۳۴۶۹۰۸۳۰۲۶ ۴۲۵۲۲۳۰۸۲۵ ۳۳۴۴۶۸۵۰۳۵ ۲۶۱۹۳۱۱۸۸۱ ۷۱۰۱۰۰۰۳۱۳ ۷۸۳۸۷۵۲۸۸۶ ۵۸۷۵۳۳۲۰۸۳ ۸۱۴۲۰۶۱۷۱۷ ۷۶۶۹۱۴۷۳۰۳ ۵۹۸۲۵۳۴۹۰۴ ۲۸۷۵۵۴۶۸۷۳ ۱۱۵۹۵۶۲۸۶۳ ۸۸۲۳۵۳۷۸۷۵ ۹۳۷۵۱۹۵۷۷۸ ۱۸۵۷۷۸۰۵۳۲ ۱۷۱۲۲۶۸۰۶۶ ۱۳۰۰۱۹۲۷۸۷ ۶۶۱۱۱۹۵۹۰۹ ۲۱۶۴۲۰۱۹۸۹ ۳۸۰۹۵۲۵۷۲۰ ۱۰۶۵۴۸۵۸۶۳ ۲۷۸۸۶۵۹۳۶۱ ۵۳۳۸۱۸۲۷۹۶ ۸۲۳۰۳۰۱۹۵۲ ۰۳۵۳۰۱۸۵۲۹ ۶۸۹۹۵۷۷۳۶۲ ۲۵۹۹۴۱۳۸۹۱ ۲۴۹۷۲۱۷۷۵۲ ۸۳۴۷۹۱۳۱۵۱ ۵۵۷۴۸۵۷۲۴۲ ۴۵۴۱۵۰۶۹۵۹ |
تاریخچه
تقریب اعشاری عدد پی
اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.
ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیکتر شدند. از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:
یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.
طبق محاسبهی کامپیوتری سری فوق٬ تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:
- ۱۰۰ میلیون جمله: ۷ رقم اعشار
- یک میلیارد جمله: ۸ رقم اعشار
ارقام بالا نشان میدهد که این الگوریتم رشد نمایی شدیدی دارد که زمان زیادی را میتواند برای محاسبهی ارقام بسیار بالا صرف نماید.
در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ میباشد و نمی توان آنرا بصوت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند عدد e). این کشف بزرگ یعنی اینکه عدد پی یک عدد گنگ میباشد به سالها تلاش ریاضیدانان برای تربیع دایره پایان داد.
در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامههای رایانهای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار میگیرد. این فرمول به صورت زیر است:
با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا ۷۰۷ رقم اعشار محاسبه کرد، در حالیکه فقط ۵۲۷ رقم آن درست بود.
باوجود آنکه همه ریاضیدانان می دانند که عدد پی گنگ میباشد و هرگز نمی توان آنرا بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمولها و مدلهای محاسبه عدد پی هموار برای آنها از جذابیت زیادی برخوردار بوده است. بسیاری از آنها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما آنها هرگز نتوانستند تا قبل از ساخت کامپیوتر این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند.
امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفتهترین رایانهها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است.اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اوخر سال ۱۹۹۹ یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمود.
از سال ۱۹۸۸ روز ۱۴ مارس را در آمریکا روز عدد پی نام نهادهاند و جشن میگیرند. روزهای دیگری نیز برای عدد پی در دیگر کشورها تعیین شده و مراسمی برای معرفی عدد پی و اهمیت آن برگزار میشود.
عدد پی در ایران
غیاث الدین جمشید کاشانی دانشمند ایرانی در رساله المحیطیه که درباره دایره نوشت عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز یافت.
یک آدم خوش ذوق هم جملهای گفت که تعداد حرفهای کلمههای آن مقدار عدد پی را تا ده رقم پس از ممیز نشان میدهد تا راحتتر آن را به خاطر بسپارید: «خرد و بینش و آگاهی دانشمندان ره "سر-منزل" توفیق ترا آموزد.» (که تعداد حرف های کلمه های به ترتیب خواندن شعر از راست به چپ و نوشتن ارقام از چپ به راست برابر۳.۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ است)
کاشف نسبتهای مثلثاتی
ابوالوفا محـمد بن يحيي بن اسماعيل بن عباس بوزجاني خراساني، يکي از مفاخر عـلمي ايران و متـولد 328 هـجري قـمري که در سوم رجب سال 388 هجري قـمري درگـذشته است. وي اهـل بوژگـان که در هـجده کيلومتري شرق شهـر تربـت جام قرار داد. ابوالوفا براي اولين بار در تهـيه جداول سينوس و کسينوس و شعـاع دايره، عـدد واحـدي را به کار برد و به اين وسيله توانست در تکـميل جداول مثـلثاتي اقدام کند و اولين بار نسبت ظل معـسلامح زاويه به قـطر ظل زاويه را که جـيب زاويه به شعـاع دايره بود کشف کرد. اين نسبت مثـلثاتي را که امروزه به نام سکانت مي خوانند و " کـپرنيک " اين نسبت را به نام خود مشهـور کرده است.
فيـبوناچي دانـشمند ايتاليايي قسمت عمدهً مسائل رياضي و جبر خود را از کتاب ابوالوفا استـنساخ کرد و بعـدها معـلوم شد شخـصي که نام اصلي اش " لئونارد دوپـيز " که هـمان " فيـبو ناتـچي " بوده به مصر و شام مسافرت کرده و قسمت عمدهً مطالعـات خود را که در کتاب " اباسلامح " آورده است از منابع دانشمندان رياضي دوره اسلام بوده و بويژه از ابوالوفا و کتاب الفـخري " کرجي " بوده است. بنا به عـقـيده " مارتـين گـاردنر " دانشمند و پـژوهـندهً رياضيدان آمريکايي در نشريه عـلمي معـروف آمريکن سايـنس گـفـته است که نخستين رساله اي که دربارهً تـقـسيم و تـبديل اشکـال هـندسي نوشته شده است، توسط ابوالوفا دانشمند ايراني بوده که متاًسفانه فـقط چـند ورقي از کـتاب پـر ارزش او باقي مانده؛ و اولين بار سه مربع را به 9 جزء تـقـسيم و از آنهـا يک مربع کامل ساخـته و به تـفـضيل به شرح آن پـرداخـته است؛ سپس به مدت ده قرن اين بحـث هـندسي و رياضي به فراموشي سپـرده شد تا اينکه " هـانري ارنست دوني " انگـليسي و " هـاري لين گـرين " استراليايي دنبالهً پـژوهـشهاي ابوالوفا را ادامه دادند. ابوالوفا نخستين کسي است که اختلاف سوم حرکت ماه را که به نام وارياسيون است کشف کرد و اين کـشف در سال 1836 توسط لوئي املي سديو به آکادمي عـلوم فرانسه اعـلام گـرديد
فرمول نسبتهای مثلثاتی
2. sin6+cos6=1-3(sin2×cos2)
3. 1-2(sin×cos)=(sin-cos)2
4. tg ×cot =1
5. sec=1/cos → sec2=1/cos2=1+tg2
6. csc=1/sin → csc2=1/sin2 =1+cot2
7. sin2+cos2=1 → sin2=1-cos2 → cos2=1-sin2
8. tan+cot=1/(sin×cos)=sec ×csc
1.sin4+cos4=1-2(sin2×cos2)
2. sin6+cos6=1-3(sin2×cos2)
3. 1-2(sin×cos)=(sin-cos)2
4. tg ×cot =1
5. sec=1/cos → sec2=1/cos2=1+tg2
6. csc=1/sin → csc2=1/sin2 =1+cot2
7. sin2+cos2=1 → sin2=1-cos2 → cos2=1-sin2
8. tan+cot=1/(sin×cos)=sec ×csc
9. sin(a ± b)=sin(a)cos(b)±sin(b)cos(a)
10. cos(a+b)=cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
11. cos(a - b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
12. cos(a - b)×cos(a +b)=cos2a - sin2b
13. sin(a +b)×sin(a - b)=sin2a - sin2b
14. tan(a+b)=( tan(a) + tan(b) ) / ( 1-tan(a)×tan(b) )
15. tan(a - b)=( tan(a) -tan(b) ) / ( 1+tan(a)×tan(b) )
16. cot(a+b)=( cot(a)×cot(b) - 1)/( cot(a)+cot(b) )
17. cot(a - b)=( cot(a)×cot(b) +1)/( cot(a) - cot
1- هر نقطه که در ناحیه ی اول قرار گیرد ، طول و عرضش مثبت است.
2- هر نقطه که در ناحیه ی دوم قرار گیرد ، طول منفی و عرض مثبت است.
3- هر نقطه ای که در ناحیه ی سوم قرار گیرد ، طول و عرضش منفی است.
4- هر نقطه ای که در ناحیه ی چهارم قرار گیرد طول مثبت و عرض منفی است.
5 – هر نقطه ای که روی محور طول قرار گیرد ، عرضش صفر است.
6 – هر نقطه ای که روی محور عرض قرار گیرد ، طولش صفر است.
مثال Å اگر نقطه روی محور طول باشد، مقدار a را بدست آورید .
حل: هر نقطه روی محور طول ، عرض آن صفر است پس:
|
1 - هر برداری که موازی محور طول باشد ، عرض آن صفر است .
2 – هر برداری که موازی محور عرض باشد ، طول آن صفر است .
3 – قرینه نقطه ی نسبت به محور طول نقطه یاست .
4 - قرینه نقطه ی نسبت به محور عرض نقطه یاست .
5 -قرینه نقطه ی نسبت به مبدأ مختصات نقطه یاست .
6 - قرینه نقطه ینسبت به نیمساز ناحیه ی اول و سوم نقطه یاست .
7 - قرینه نقطه ی نسبت به نیمساز ناحیه ی دوم و چهارم نقطه ی است .
|
1- هر نقطه که در ناحیه ی اول قرار گیرد ، طول و عرضش مثبت است.
2- هر نقطه که در ناحیه ی دوم قرار گیرد ، طول منفی و عرض مثبت است.
3- هر نقطه ای که در ناحیه ی سوم قرار گیرد ، طول و عرضش منفی است.
4- هر نقطه ای که در ناحیه ی چهارم قرار گیرد طول مثبت و عرض منفی است.
5 – هر نقطه ای که روی محور طول قرار گیرد ، عرضش صفر است.
6 – هر نقطه ای که روی محور عرض قرار گیرد ، طولش صفر است.
مثال Å اگر نقطه روی محور طول باشد، مقدار a را بدست آورید .
حل: هر نقطه روی محور طول ، عرض آن صفر است پس:
|
1 - هر برداری که موازی محور طول باشد ، عرض آن صفر است .
2 – هر برداری که موازی محور عرض باشد ، طول آن صفر است .
3 – قرینه نقطه ی نسبت به محور طول نقطه یاست .
4 - قرینه نقطه ی نسبت به محور عرض نقطه یاست .
5 -قرینه نقطه ی نسبت به مبدأ مختصات نقطه یاست .
6 - قرینه نقطه ینسبت به نیمساز ناحیه ی اول و سوم نقطه یاست .
7 - قرینه نقطه ی نسبت به نیمساز ناحیه ی دوم و چهارم نقطه ی است .
|
دستگاه مختصات کروی
در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حسابها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویهٔ سمتالرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x.
محتویات[نهفتن] |
مشخصات
دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصهاست:
- مختصه (یا ) که روی کرههای هم مرکز حول مبدا است.
- مختصه روی مخروطهای دوار قائم حول محور با راس واقع در مبدا.
- مختصه که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی میگذرد.
در فیزیک بنا به سنت جای و معکوس است یعنی زاویه با محور است.
محدوده مختصات
سه مختصه در محدوههای زیر میتوانند باشند:
- مختصه (یا ):
- مختصه زاویه قطبی :
- مختصه زاویه سمتی :
رابطه با مختصات دکارتی
مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی میتوان تبدیل کرد:
- برای مختصه :
- برای مختصه زاویه قطبی :
- برای مختصه زاویه سمتی :
مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر میتوان به دستگاه مختصات کروی برد:
- مختصه :
- مختصه :
- مختصه :
حساب برداری
- بردار در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده میشود:
- ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها مانند تمامی دستگاههای مختصّات متعامد به همان فرمولبندی دستگاه دكارتی انجام میشود.
- گرادیان تابع اسکالر به صورت زیر است:
- واگرایی بردار :
- کرل بردار در دستگاه کروی:
- عملگر لاپلاسی بر روی بردار در مختصات کروی:
تبدیلهای دستگاه مختصات
دستگاه مختصات جغرافیایی
دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفادههایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان میدهد جایگزین میشود.
عرض جغرافیایی ، مکمل سمتالرأس یا متمم عرض جغرافیایی است و میتواند با این روابط تبدیل شود:
- ، یا
با این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده میشود. این، یک زاویه سمتالرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه میگیرد با دامنهٔ -90° ≤ φ ≤ 90° بیان میکند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از 0° اندازهگیری میشود، بنابراین دامنهاش -180° ≤ θ ≤ 180° است.
دیفرانسیلها
- دیفرانسیل خطی:
- دیفرانسیل سطحی:
- دیفرانسیل حجمی:
عدد
هندی غربی هندی شرقی |
هندوستان برهمی |
چینی ژاپنی خِمِر |
کرهای تایلندی |
ابجد ارمنی سیریلیک گِعِز |
عبری یونانی سانسکریت |
آتیک اِتروسکی رومی |
بابلی مصری مایایی |
عناوین مربوط به سیستمهای شمارشی | |
سیستمهای ترتیبی | |
بر پایهدهدهی، | |
دودویی: ۲، ۴، ۸، ۱۶، ۳۲، ۶۴، ۱۲۸ | |
غیره: ۳، ۹، ۱۲، ۲۴، ۳۰، ۳۶، ۶۰، ادامه. |
عَدَد (یا شماره) یکی از مفاهیم پایهٔ ریاضیات است. در آغاز عدد برای شمارش و اندازهگیری به کار میرفت ولی بعدها ریاضیدانان مفهوم آن را توسعه دادند و مفهوم عدد صفر، عدد منفی، عدد موهومی و عدد مختلط را ابداع کردند. عدد را نباید با رقم اشتباه کرد. رقم نشانهای است که برای نوشتن عدد به کار میرود.
تاریخ پیدایش عدد
در آغاز، مفهوم عدد بسیار محدود بود. حتی اعداد را تا ۲ بیشتر نمیتوانستند بشمارند. برای عدد، مرزی برای شمار داشتند. برای نمونه، زمانی در بسیاری جاها، مرز شمار، عدد ۶ بود. تا ۶ میشمردند و پس از آن را «بسیار» میگفتند. هنوز هم در بسیاری زبانها «هفت» به معنای بسیار است. در زبان فارسی، ضربالمثلی هست که میگوید: «هفت بار گز کن، یک بار پاره کن.» در این ضربالمثل، منظور دقیقاً هفت بار عمل کردن نیست، بلکه منظور این است که پس از عمل «بسیار»، نتیجه بگیر. در زبان روسی نیز ضربالمثلی به این مفهوم وجود دارد که «هفت نفر منتظر یک نفر نمیمانند» که باز هم منظور این است که تعداد زیادی منتظر یک نفر نمیمانند. همچنین در داستانها، وقتی از پادشاهی صحبت میشود که در قصری است که هفت برج و بارو دارد، و یا هفت دریا، هفت سرزمین، هفت آسمان و ... همه جا «هفت» به معنای بسیار به کار رفتهاست.
عدد سیزده نیز چنین سرنوشتی دارد. دوازده را «دوجین» میگفتند و چون پس از آن را نمیشناختند، روی آن نام «دوجین شیطانی» گذاشتند. از اینجا، عدد سیزده نحس شد. چرا که پس از دوازده برای آنها ناشناخته بود و خبر از ابهام و تاریکی میداد. البته پیشامدها یا روایتهایی هم به نحسی سیزده کمک کرد. مثلاً روایتی هست مبنی بر این که در شام آخر، نفر سیزدهم به عیسای مسیح خیانت کرد و او را لو داد. وگرنه عدد ۱۳ با عددهای دیگر هیچ تفاوتی ندارد. (نمونههای دیگری هم از اینگونه، برای برخی عددها داریم. چهل چراغ به معنای درست ۴۰ چراغ نیست. هزار پا به معنای این نیست که این جانور ۱۰۰۰ پا دارد.)
برخی عددها هم نشانهٔ عددشماری بودهاست. دست پنج انگشت دارد و اغلب چیزها را به یاری انگشتان دست و پا می شمردند. واژهٔ پنج از پنجه گرفته شده است. زیرا پنجه دارای ۵ انگشت است. در زبان فارسی، واژهٔ سی با واژهٔ سه، همریشه است. همینطور چهل با چهار، پنجاه با پنج و ... ولی واژهٔ بیست، هیچ ربطی به واژهٔ «دو» ندارد. این نشانهٔ آن است که عدد ۲۰ به معنای مجموعهٔ انگشتان دست و پاست و در زمانهای دور، مبنای عددشماری بودهاست. در زبان فرانسوی به بیست میگویند «وَن» که هیچ ربطی به (دو=deux) ندارد. به جز آن، به هشتاد میگویند «چهار بیست تا» و به نود میگویند «چهار بیست تا و ده تا». تنها در دورهای از پیشرفت تمدّن به بیپایان بودن عددهای طبیعی پیبردند و به عنوان نمونه، اقلیدس (سده سوّم پیش از میلاد) ثابت کرد که تعداد عددهای اوّل، بینهایت است.
گونههای نوشتاری اعدادانگلیسی/فارسی/عربی [ویرایش]
طریقه نوشتن اعداد در فارسی و عربی به یک شکل است اما کشورهای عربی تقریبا در ۵۰ سال گذشته مدل نوشتن اعداد به سبک غربی و انگلسی را بیشتر بکار می برند. آنها می گویند نوشتن اعدادبصورت انگلسیی تکامل یافته اعداد به سبک عربی/فارسی است. اروپاییان تا حدود ۵۰۰ سال قبل از سبک نوشتن اعداد بصورت I. II.III IV.VI , ... استفاده می کردند که در نوشتن اعداد چند رقمی بزرگ کار سختی بود. آنها ۵۰۰ سال قبل برای اولین بار نوشتن اعداد را به سبک فارسی/عربی بکار گرفتند و آنرا بهبود بخشیدند بنا براین نوشتن اعداد به سبک انگلیسی در واقع مغایرتی با نوشتن فارسی ندارد و بیگانه با نوشتار عربی / فارسی نیست.به جدول نگاه کنید تفاوت اعداد در نوشتن عربی/فارسی با انگلیسی بسیار اندک است. امروزه در تمام جهان حتی در چینی و هندی اعداد را به سبک انگلیسی می نویسندالبته به جز ایران.در ایران یک نظر قوی شکل گرفته است که نوشتن اعداد رادر زبان فارسی با نگارش اعداد انگلیسی انجام دهیم این به بین المللی کردن فارسی کمک می کند و اشتباهات عجیبی که در نگارش اعداد فارسی بویژه در اسناد و اوراق بها دار روی می دهد را کاهش می دهد.
تاریخچه عدد صفر
تاریخچه عدد صفر
یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.
اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.
هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.
البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.
البتهبعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.
هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.
اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .
این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.
در متون، اگر عددی منفی نباشد به شکل